Comment Demontrer Qu Une Suite Est Geometrique

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Montrer qu'une suite est géométrique

jeudi 29 décembre 2016 , par

Méthode

Il existe différentes méthodes pour démontrer qu'une suite est géométrique.
On présente ici la plus classique en Terminale ES.

Une suite $(u_{n})$ est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel $north$, $u_{n+1}=a\times u_{n}$ où $a$ est un nombre indépendant de $northward$.

Pour démontrer qu'united nations suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation $u_{n+1}=a\times u_{north}$.
Lors des épreuves de BAC, il est fréquent d'utiliser la rédaction suivante :
$u_{n+i}=... \qquad $(d'après la relation donnée dans 50'énoncé)
$\\ \qquad =... \\ \qquad =a\times u_{northward}$
Donc $(u_{n})$ est géométrique de raison $a$.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour due south'entraîner

Niveau moyen
On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=12$ et définie pour tout entier naturel $northward$ par $u_{n+1}=3u_n-4$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $north$ par $v_{due north}=u_n-2$.
Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+one}=u_{north+1}-two$ d'après l'énoncé.
$\qquad =(3u_n-4)-two$ d'après l'énoncé.
$\qquad =3u_n-6$
$\qquad =three(u_n-2)$ en factorisant (on peut aussi remplacer $u_n$ par $v_n+2$)
$\qquad =3v_n$
Donc $(v_{north})$ est une suite géométrique de raison three.
De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=u_0-2=10$.

Niveau difficile
On considère la suite $(u_{due north})$ telle que $u_0=7$ et définie pour tout entier naturel $northward$ par $u_{n+one}=\frac{2}{u_n-1}$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{north}=\frac{u_n+1}{u_n-2}$.
Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.

Voir la solution

Soit $due north$ united nations entier naturel.
$v_{north+i}=\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}-2}$ d'après l'énoncé.
$\qquad =\frac{\frac{two}{u_n-1}+1}{\frac{2}{u_n-1}-two}$
$\qquad =\frac{(\frac{2}{u_n-1}+1)\times (u_n-one)}{(\frac{two}{u_n-1}-2)\times (u_n-1)}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $u_n-1$
$\qquad =\frac{2+(u_n-1)}{two-ii(u_n-1)}$
$\qquad =\frac{u_n+one}{-2u_n+4}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2(u_n-2)}$
$\qquad =-\frac{i}{2}\times \frac{u_n+i}{u_n-ii}$
$\qquad =-\frac{i}{two}\times v_n$
Donc $(v_{north})$ est une suite géométrique de raison $-\frac{1}{two}$.
De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=\frac{u_0+1}{u_0-2}=\frac{8}{5}$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 4a de Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice three (non spé).
la question A.2a de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (not spé).
la question 2b de Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4.
la question A.3a de Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 2a de Asie, Juin 2016 - Exercice iii (non spé).
la question 2b de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice two.

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